Vidi kôd stranice Jednoliko gibanje po kružnici

{{Klasična mehanika}}

[[datoteka:4-Stroke-Engine.gif|mini|290px|desno|Prikaz rada [[Četverotaktni motor|četverotaktnog motora]].]]

[[datoteka:Uniform circular.JPG|desno|mini|290px|Jednoliko gibanje po kružnici.]]

'''Jednoliko gibanje po kružnici''' ili '''jednoliko kružno gibanje''' je takvo [[gibanje]] kod kojeg neko [[kruto tijelo]], odnosno [[materijalna točka]], giba jednoliko po [[kružnica|kružnici]]. Okrene li se neki [[kotač]] uvijek istom [[brzina|brzinom]], odnosno ako čini uvijek isti [[broj okretaja]], kažemo da taj kotač vrši jednoliko kružno gibanje.<ref> Velimir Kruz: "Tehnička fizika za tehničke škole", "Školska knjiga" Zagreb, 1969.</ref> Kod većeg tijela promatra se gibanje po kružnici njegovog [[centar masa|centra masa]]. Svako jednoliko gibanje može se odrediti kao gibanje kod kojega točka (tijelo) u jednakim [[vrijeme|vremenskim intervalima]] (vremenskim razmacima) prelazi jednake puteve. To znači da su prosječni iznosi brzine u svim vremenskim intervalima jednaki, to jest da brzina ne mijenja iznos. Prilikom jednolike [[vrtnja|vrtnje]] (rotacije) krutog tijela oko nepomične osi, ne mijenja se njegova [[kutna brzina]], a njegove se točke jednoliko kružno gibaju po kružnicama okomitima na tu os, kojima je središte na toj osi.

== Objašnjenje ==
Kod jednolikog kružnog gibanja razlikuju se dvije brzine:
* [[obodna brzina]] ili linearna brzina,
* [[kutna brzina]].

Ako točka učini ''n'' okretaja u sekundi (oznaka okr/s ili 1/s ili s<sup>-1</sup>), a za vrijeme jednog okretaja svlada put 2∙''r''∙π, onda je put u jednoj sekundi 2∙''r''∙π∙''n'', a obodna brzina v ([[Metar u sekundi|m/s]]) je:

:<math> v = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot n </math>

Budući da vrijedi 2∙''r'' = ''d'' ([[metar]]a), to je:

:<math> v = d \cdot \pi \cdot n </math>

Računamo li [[broj okretaja]] u [[minuta|minuti]] = 60 [[sekunda|sekundi]], što je uobičajeno u praksi, onda vrijedi:

:<math>v = \frac{r \cdot \pi \cdot n}{30}\ </math>

odnosno:

:<math>v = \frac{d \cdot \pi \cdot n}{60}\ </math>

Obodna brzina je brojčano jednaka duljini [[Luk (matematika)|luka]] što ga učini točka na obodu kružnice u jednoj sekundi. Ona u svakoj točki ima smjer tangente koji se stalno mijenja, ali joj veličina ostaje ista.

Tako na primjer, kod mnogih [[alatni stroj|alatnih strojeva]] vrši se [[strojna obrada]] skidanjem strugotine i to baš kružnim gibanjem. Najvažniji alatni strojevi koji vrše kružno gibanje jesu: [[tokarilica]], [[glodalica]], [[bušilica]], [[Brušenje|brusilica]] i kružna [[pila]]. 

Ako se točka vrti stalnom obodnom brzinom ''v'' po kružnici, [[radijvektor]] te točke opisuje u svakoj sekundi jednak [[kut]]. Kut što ga opiše radijvektor u jednoj sekundi naziva se [[kutna brzina]]. Kutna brzina mjeri se radijanima u sekundi. Jedan [[radijan]] je luk koji je jednak polumjeru, a oba pripadaju istoj kružnici. Budući da je opseg kružnice 2∙''r''∙π, čitav opseg, odnosno puni kut od 360˚, ima 2∙''r''∙π / ''r'' radijana, to jest 360˚ = 2∙π radijana. Iz toga slijedi:

:<math>1\,\mathrm{rad}=\frac{360^\circ}{2 \cdot \pi} \approx 57{,}29577951^\circ = 57^\circ 17' 45'' </math>

ili:

:<math> 1^\circ = \frac{2 \cdot \pi}{360^\circ} = \frac{\pi}{180^\circ} </math>

U jednom okretaju točka učini put od 2∙π radijana, a za vrijeme jedne sekunde put od 2∙π∙''n'' radijana. Budući da je brzina put u jednoj sekundi, to je kutna brzina ''ω'' (1 / s = radijana u sekundi = s<sup>-1</sup>):

:<math>\omega = 2 \cdot \pi \cdot n </math>

Računamo li broj okretaja u 1 minuti = 60 sekundi, onda dobivamo izraz za kutnu brzinu:

:<math> \omega = {{2 \cdot n \cdot \pi} \over 60} = {{n \cdot \pi} \over 30} </math>

Uvrstimo li u izraz za obodnu brzinu kutnu brzinu, dobit ćemo da je obodna brzina v (m/s):

:<math> v = r \cdot \omega </math>

Ako je ''r'' = 1, onda je obodna brzina jednaka kutnoj brzini, to jest ''v = ω''. Što je veći [[polumjer]] (radijus) vrtnje, veća je obodna brzina pri istoj kutnoj brzini ([[broj okretaja]]). 

== Opis gibanja ==
Dok se točka jednoliko giba po kružnici, promjena njezinog položaja može se opisati pomoću puta <math>\scriptstyle s </math> koji ona prijeđe, ili pomoću kuta <math>\scriptstyle \varphi</math> za koji se zakrene polumjer kružnice <math>\scriptstyle r </math> povučen do te točke (skica desno; na skici je pokumjer prikazan kao radij-vektor povučen iz središta). Taj put i kut su jedine veličine kojima se tijekom vremena mijenja iznos. Pomoću njih se iznos brzine <math>\scriptstyle v </math> (koja se još naziva i ''linearnom'' ili ''obodnom'' brzinom) i iznos [[kutna brzina|kutne brzine]] <math>\scriptstyle \omega </math> mogu izračunati tako da se put, odnosno kut podijeli s vremenom:<ref>[http://www.scribd.com/doc/40272543/Levanat-Kinematika-i-dinamika I. Levanat: Fizika za TVZ - Kinematika i dinamika] Tehničko veleučilište u Zagrebu (2010)</ref>

:::<math> v = {s \over t} </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; odnosno &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> \omega = {\varphi \over t}</math>.

Ovakav način pisanja podrazumijeva da su put i kut prijeđeni od trenutka <math>\scriptstyle t=0 </math> do trenutka <math>\scriptstyle t </math>. Iznosi brzina računaju se običnim dijeljenjem zato što se ne mijenjaju. (Kad se učenici u osnovnoj ili na početku srednje škole prvi put upoznaju s kružnim gibanjem, obično se simbol <math>\scriptstyle t </math> tretira kao vremenski interval, kako je opisano u članku o [[vrijeme|vremenu]].)

Iz gornjih se jednadžbi jednostavnim množenjem s vremenom dobivaju formule za pređeni put i kut zakreta:

:::<math> s = v \,t </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; odnosno &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> \varphi = \omega \,t </math>.

Svejedno je da li se formule tumače kao put (kut) koji je prijeđen u "vremenskom intervalu <math>\scriptstyle t </math>", ili koji je prijeđen od trenutka <math>\scriptstyle t=0 </math> do trenutka <math>\scriptstyle t </math>. No, ponekad se pomoću njih želi opisati trenutni položaj točke u odnosu na neki odabrani početni položaj, u kojemu točka ''nije'' bila u trenutku <math>\scriptstyle t=0 </math> (npr. kod opisa veze s harmoničkim titranjem u donjem poglavlju). Tada treba dodati "početni put" <math>\scriptstyle s_0 </math>, odnosno "početni kut" <math>\scriptstyle {\varphi}_0 </math>, koji je točka prešla od toga početnog položaja do trenutka <math>\scriptstyle t=0 </math>, pa formule imaju oblik:

:::<math> s = v \,t + s_0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; odnosno &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> \varphi = \omega \,t + {\varphi}_0 </math>.

== Jednoliko kružno gibanje je periodičko gibanje ==
Jednoliko kruženje je najjednostavnije periodičko gibanje. Periodičke pojave (pa tako i gibanja) su pojave kod kojih se sve točno ponavlja nakon određenog, uvijek jednakog, vremenskog intervala koji se naziva period, i obilježava velikim slovom <math>\scriptstyle T </math>. Preciznije (matematički), [[period]] je najmanji vremenski interval nakon kojega vremenska funkcija <math>\scriptstyle f(t) </math>, koja opisuje gibanje (ili pojavu), ponovo poprima iste vrijednosti, tj. <math>\scriptstyle f(t+T)=f(t)\,</math>.

===Period i frekvencija===
Kod jednolikog kružnog gibanja, period je vremenski interval koji je potreban za jedan puni obilazak (ophod) kružnice, te se još naziva i ''ophodno vrijeme'' <math>\scriptstyle T </math>. Kao i kod svih periodičkih pojava, za opis gibanja koristi se i ''frekvencija'' ili ''učestalost'' <math>\scriptstyle f </math> (ponekad se koristi grčko slovo <math>\scriptstyle \nu </math>), koja se definira kao broj perioda u jedinici vremena i računa kao recipročna vrijednost perioda:

:::<math> f = \frac{1}{T} \,</math>.

Za praktično određivanje (mjerenje) iznosa brzine kod jednolikog kružnog gibanja najprikladnije je koristiti ophodno vrijeme (period), jer u tome vremenskom intervalu točka (tijelo) prijeđe put jednak opsegu kružnice, <math>\scriptstyle s = 2 \pi r </math>, pa je dovoljno izmjeriti samo polumjer kružnice. Ako se u gornju jednadžbu za iznos brzine uvrsti taj put, a za vrijeme period <math>\scriptstyle T </math>, dobiva se:

:::<math> v = {s \over t} = \frac{2 \pi r}{T} = 2 \pi f \,r \,</math>.

===Kutna brzina i kružna frekvencija===
Iznos kutne brzine još se jednostavnije određuje pomoću perioda, jer za vrijeme jednog ophoda <math>\scriptstyle T </math> polumjer (radij-vektor) opiše puni kut <math>\scriptstyle \varphi = 2 \pi </math>. Tako jednadžba za kutnu brzinu postaje:

:::<math> \omega = {\varphi \over t} = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f \,</math>.

Podrazumijeva se da se kut mjeri u [[SI]] jedinicama, tj. u [[radijan]]ima, u kojima je definiran kao omjer luka i polumjera, što kod kružnog gibanja znači <math>\scriptstyle \varphi = s/r </math>. Odatle se lako vide veze između linearnih i kutnih veličina

:::<math> s = \varphi \,r </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; te &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> v = \omega \,r </math>.

Prva veza dobiva se neposredno iz definicije kuta, a druga se može dobiti dijeljenjem prve s vremenom. Usto, ova druga veza vidi se i iz gornjih jednadžbi za brzinu i kutnu brzinu.

Simbol <math>\scriptstyle \omega </math> koristi se i kod opisa drugih periodičkih pojava, koje nisu jednoliko kruženje, ali su s njime "matematički" povezane (npr. kod opisa veze s harmoničkim titranjem u donjem poglavlju). U takvim slučajevima, koristi se umjesto "kutne brzine" naziv ''kružna frekvencija'' (ili ''kutna frekvencija''), koja se definira po analogiji s prethodnom jednadžbom za kutnu brzinu:

:::<math> \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f \,</math>.

Tu kut ne opisuje kruženje ili vrtnju nekog materijalnog objekta, pa se ne koristi termin "kutna brzina". Naziv kružna ili kutna frekvencija proizlazi iz matematičke veze s kružnim gibanjem i proporcionalnosti s frekvencijom.

== Centripetalno ubrzanje ==
[[Datoteka:Centripetal acceleration.JPG|desno|mini|360px|Uz izvod centripetalnog ubrzanja kod jednolikog gibanja po kružnici.]]
Iako kod jednolikog kruženja brzina ne mijenja iznos, ona stalno mijenja smjer jer mora biti u smjeru tangente na kružnicu, tj. okomita na polumjer (radij-vektor) povučen iz središta kružnice do točke koja se giba. Svaku promjenu brzine, pa tako i promjenu njezinog smjera, opisuje veličina koje zove [[ubrzanje]]. Kod jednolikog kruženja, to ubrzanje mora biti okomito na smjer brzine, kako ne bi povećalo ili umanjilo njezin iznos. Za takvo se ubrzanje općenito koristi naziv ''normalno ubrzanje'', a kod gibanja po kružnici naziv ''centripetalno ubrzanje'' (ili ''radijalno ubrzanje'') jer ima smjer prema centru kružnice ("leži" na radijusu).

Budući da je kod jednolikog kružnog gibanja centripetalno ubrzanje ujedno i ukupno ubrzanje, njegov se iznos lako izvodi pomoću definicije ubrzanja (skica desno). Ipak, za korektan izvod potrebno je minimalno poznavanje [[vektor]]skog računa i [[derivacija]]. Polazi se od opće definicije ubrzanja

::: <math> \vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \lim_{ \Delta t \to 0}\frac{ \Delta \vec v}{\Delta t} \,\!</math>,

a traži se samo iznos centripetalnog ubrzanja koji je ovdje jednak iznosu ukupnog ubrzanja, tj. <math>\scriptstyle |\vec{a_{cp}}| = |\vec{a}| </math>. Na lijevoj strani skice prikazano je zakretanje polumjera za kut <math>\scriptstyle \Delta \varphi </math> u vremenskom intervalu <math>\scriptstyle \Delta t </math>; za to vrijeme brzina kao vektor se promjeni iz <math>\scriptstyle \vec v_1 </math> u <math>\scriptstyle \vec v_2 </math>. Pritom se i brzina zakrene za isti kut <math>\scriptstyle \Delta \varphi </math> jer stalno ostaje okomita na polumjer, ali ne mijenja iznos (što na skici označava jednakost <math>\scriptstyle v_1 = v_2 = v </math>, gdje je iznos vektora označen istim slovom kao i vektor ali bez strelice).

Na desnoj strani skice prikazana je promjena brzine <math>\scriptstyle \Delta \vec v = \vec v_2 - \vec v_1 </math>. Njezin iznos <math>\scriptstyle |\Delta \vec v| </math> je tetiva luka <math>\scriptstyle \Delta l </math>. Taj luk je, prema definiciji kuta u radijanima, jednak <math>\scriptstyle \Delta l = v \Delta \varphi </math> (jer je pripadni radijus jednak iznosu brzine). Odatle se dobiva:

::: <math> a_{cp} = |\vec{a}| = \lim_{ \Delta t \to 0}\frac{ |\Delta \vec v|}{\Delta t} = \lim_{ \Delta t \to 0}\frac{ \Delta l}{\Delta t} = \lim_{ \Delta t \to 0}\frac{ v \Delta \varphi}{\Delta t} = v  \,\omega = {v^2 \over r} \,\!</math>.

Da bi se to razumjelo, treba samo uočiti da je <math>\scriptstyle a_{cp} </math> pozitivan broj, dakle jednak iznosu <math>\scriptstyle |\vec{a_{cp}}| = |\vec{a}| </math>, te da u graničnom prijelazu, kada <math>\scriptstyle \Delta t </math> teži prema nuli, duljina tetive <math>\scriptstyle |\Delta \vec v| </math> postaje jednaka duljini luka <math>\scriptstyle \Delta l </math> a omjer <math>\scriptstyle {\Delta \varphi}/{\Delta t} </math> daje kutnu brzinu <math>\scriptstyle \omega </math>.

[[Datoteka:Cicular-harmonic.JPG|desno|mini|260px|Prikaz jednolikog gibanja po kružnici u koordinatnom sustavu i veza s harmoničkim titranjem.]]

== Veza jednolikog kruženja i harmoničkog titranja ==
Jednoliko kružno gibanje može se prikazati u x,y ravnini sa središtem kružnice u ishodištu Kartezijevog koordinatnog sustava (skica desno). Položaj točke u trenutku <math>\scriptstyle t=0 </math> zadan je kutom <math>\scriptstyle {\varphi}_0 </math> u odnosu na os "x", pa se kut mijenja prema formuli <math>\scriptstyle \varphi = \omega \,t + {\varphi}_0 </math>.

Koordinata <math>\scriptstyle x </math> točke je <math>\scriptstyle x = \cos \varphi </math>, koordinata <math>\scriptstyle y </math> je <math>\scriptstyle y = \sin \varphi </math>. Kad se uvrsti <math>\scriptstyle \varphi = \omega \,t + {\varphi}_0 </math>, dobiju se jednadžbe jednolikog kružnog gibanja po prikazanoj kružnici u koordinatnom sustavu na skici:

:::<math> x = r \cos (\omega \,t + {\varphi}_0) </math>

:::<math> y = r \sin (\omega \,t + {\varphi}_0) </math>.

Svaka jednadžba zasebno opisuje [[harmonijsko titranje|harmoničko titranje]] (kaže se još i ''harmonijsko titranje''). Dok se točka jednoliko giba po kružnici, njezina projekcija na promjer kružnice harmonički titra (na skici je prikazana projekcija točke na os "x"). U gornjim jednadžbama, <math>\scriptstyle r </math> je amplituda titranja, <math>\scriptstyle \omega </math> je kružna frekvencija, dok je <math>\scriptstyle {\varphi}_0 </math> početna faza.


== Izvori ==
{{Izvori}}

[[Kategorija:Klasična mehanika]]


[[en:Uniform circular motion]]